ヒント１：四分位数とは
一言でいうと、複数データの集合体をざっくり４等分して全体の傾向を掴むための
指標ということです。
一例を挙げて説明しましょう。あるクラスで１５名の生徒が数学の定期テストを受けて、
その結果が上記の通りだったとします。まず四分位数を求めるために、全体を点数順に
並べ替えたのが下表です。
これらを４つのグループに分けて分析します。４つのグループに分ける、ということは
グループの区切りが３カ所あるということは分かりますね。これらの区切りを下位から順に
０～２５％、２５～５０％、５０～７５％、７５～１００％の４つのグループに分けた時
その区切りに来る人の得点が第１／第２／第３四分位数と言います。
分かり易い考え方としては、まず真ん中（第２四分位数）を求めて２グループに分けて、
次に２グループのそれぞれ真ん中（第１、第３四分位数）を求めるのが良いと思います。
つまり上位と下位が同数の７人居る人＝８位Ｆさんの６５点が第２四分位数。次に
８～１５位の７名の真ん中、１２位Ｅさんの５０点が第１四分位数。最後に１～７位の
７名の真ん中、４位Ｉさんの７５点が第３四分位数となります。文章だと分かりにくいので
表に追記すると下の通りです。
ちなみに今回は全体が１５人なのでＩさん、Ｆさん、Ｅさんの得点がそのまま四分位数に
なりましたが、もう１名居た場合はどうなるでしょうか？例えば１名カンニングで失格に
なり０点になったＰさんも含めて全体が１６人だったとします。
対象人数（データ数）が偶数の場合はちょうど真ん中の人が居ないので、
２つのデータの平均値が四分位数となります。上表を見て、四分位数の上下に
それぞれ同じ人数（４人）が居ることを確認してください。
ここまできて少し混乱してきている人も居るかと思います。その理由は
①生データ（テストの得点）②生徒の人数（１５人）③テスト結果順位（１～１６位）
④四分位（２５～５０％など）の４つの数が存在しているからです。
しかしここで重要なのは①生データであって、他は補足の位置づけであることを
しっかり理解してください。あくまでも分析しているのは得点データの集団で
あり、低い得点から高い得点の順に並べて分類していることを常に意識しておけば
理解がボヤけることはないと思います。
しかし思うのは何故「四分位」などという普段の生活では絶対に使わない言い方を
するんでしょうね。例えば「第１四分位」だったら「４等分して一番数値が低い
グループを決める値」と読み替えたほうが分かり易いと思います。この辺は自分なりに理解し易い言い換えを考えてみてください。
次に四分位範囲を求めます。要は２５％～７５％の範囲を求めるということです。
この値が大きいほどクラスの実力差が大きい、ということになります。
※グループ全体数は当初の１５人を前提にして進めます。
（四分位範囲） ＝ （第３四分位数）－（第１四分位数）
＝ （３番目に数値が低いグループを決める値）－
（１番目に数値が低いグループを決める値）
＝ （Ｉさんの得点７５）－（Ｅさんの得点５０）
＝ ２５
四分位偏差は四分位範囲の半分になります。偏差というのは中心値に対して
どれくらい差があるか、という意味なので、２５％～７５％の範囲を半分に
すれば２５％の人、７５％の人が真ん中の人から大体どれくらい離れているか
を表すことができます。
（四分位偏差）＝（四分位範囲）／２＝１２．５
実際には上位７５％の人は真ん中の人に対し１０点差しかありませんが、
テストのおおよその傾向を掴むには有効な指標といえます。
ヒント２：データ数が多い場合の四分位数は何番目か
上記のように１５人程度の場合は全て表にできるので問題ありませんが、仮にデータが
１０００個あった場合の四分位数は何番目か、と聞かれると困りますよね。
このときは下記の順番で考えると分かり易いです。
まず１０００個は偶数です。つまり全体を２つのグループに分けた時、
５００個ずつのグループになり、真ん中の値は存在しません。
また、１００１個のように奇数のデータ数の場合は真ん中の値が存在します。
これも文章だと分かりにくいので下表をみてください。
上のようにまず真ん中で２つに分けて、次に下位グループを分け、最後に上位
グループを分けると理解しやすいです。１００１個データ時の上位グループが
一番悩むところですが、１～２５０番目で２５０個なら５０２～７５１番目で
２５０個、というのはスッと理解できるかと思います。（１の位に注目）
正答と解説
問題の聞き方が「どのようなデータでも成り立つ」と言っているので、
成り立たない極端な具体例を考えていった方が早いとまず考えます。
一般的にどのような場合でも成り立つかを検証する方が時間が掛かるので。
【⓪平均値は第１四分位数と第３四分位数の間にある】
データが９９個あるという前提なので、例えば９８個まで０で９９個目だけ
９９であるデータを挙げてみましょう。すると平均値は１となります。
しかし９８個まで０ということは第１四分位数も第３四分位数も０なので、
平均値は第１四分位数と第３四分位数までの間には無いですね。
従って⓪はどのようなデータでも成り立ちません。
【①四分位偏差は標準偏差より大きい】
ここで分散の用語、標準偏差が出てきましたね。
ちなみに何故分散は各データと平均値の差を２乗するのか？というと、
単に各データと平均値の差を合計していくと必ず０になってしまうからです。
例えば上の例で考えると平均値は１なので、各データと平均値の差は
（－１、－１、・・・・・・・・・、－１、９８）
これを合計すると０になってしまいますね。平均値の算出方法を考えると
当然と言えば当然です。なので２乗することにより、平均値から離れるデータ
ほど分散の値が極端に大きくなるようにしているのです。従って
四分位偏差は０－０＝０なので①はどのようなデータでも成り立ちません。
【②中央値より小さい観測値の個数は４９個である】
これも先ほどの例で考えると、中央値は０でそれより小さい観測値はないので
②はどのようなデータでも成り立ちません。
【③最大値に等しい観測値を１個削除しても第１四分位数は変わらない】
データが９９個ある時の第１四分位数は何番目のデータでしょうか？
奇数個のデータなので４９個＋（第２四分位数）＋４９個となり、
前半４９個のデータは２４個＋（第１四分位数）＋２４個となるので
第１四分位数は２５番目のデータとなります。
次にデータが９８個に減った時の第１四分位数は、偶数個のデータなので
４９個＋４９個に分かれて、４９番目と５０番目の平均値。
次に４９個のデータは２４個＋（第２四分位数）＋２４個となり、
第１四分位数は２５番目のデータとなります。
つまりいずれの場合も２５番目のデータが第２四分位数となるので、
③はどのようなデータでも成り立ちます。
【④第１四分位数より小さい観測値と、第３四分位数より大きい観測値とを
すべて削除すると、残りの観測値の個数は５１個である】
先ほどの９８個まで０で９９個目が９９であるデータで考えると、第１四分位数は
０であり、それより小さい観測値はありません。また、第３四分位数は０なので、
それよりも大きい観測値は９９のみとなります。つまり９８個目までの０は全て
残るため５１個にはなりません。従って④は全てのデータで成り立ちません。
【⑤第１四分位数より小さい観測値と、第３四分位数より大きい観測値とを
すべて削除すると、残りの観測値からなるデータの範囲は元のデータの
四分位範囲と等しい】
これ、削除して残ったデータは必ず最小値が第１四分位数と同じで、最大数も
必ず第３四分位数と同じになるので、データの範囲は元のデータと一致します。
従って⑤は全てのデータで成り立ちます。
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