「ヒント」チェバ、メラネウス、方べきの定理
【チェバの定理】
なぜこの定理が成り立つのかの証明は少々複雑ですが、時計回り
または反時計回りに分子⇒分母⇒分子⇒分母・・・と一辺ずつ順に
入れていくと理解すれば感覚的に分かり易い定理になっています。
（上の式は反時計回り）
【メラネウスの定理】
△ＡＣＤとＥＢにおいてメラネウスの定理を適用すると
これも証明は少々複雑なので理解する必要はありません。三角形の
頂点⇒直線との交点⇒三角形の頂点⇒直線の交点・・・と順番に
入れていくと理解すれば感覚的に分かり易いと思います。
三角形と直線の適用の仕方を上手くあてはめると最初のところは
回答できます。
面積比の問題での１つの考え方として、両方を含む共通部分をきっかけとすると上手くいくことが多いです。今回の場合は△ＣＤＧと△ＢＦＧ両方を含む△ＧＢＣに着目してみると上手くいきそうですね。
【方べきの定理】
下図のように４点ＡＢＣＤが同一円周上にある場合、
ＥＡｘＥＤ ＝ ＥＢｘＥＣ
が成立する。またＡが円との接線の場合は
ＥＡｘＥＡ ＝ ＥＢｘＥＣ
が成立する
この定理を使えばさほど迷わずに回答できると思います。が、最後は
１ひねり必要です。ここでセンター試験の定石である「前問で何を
させたかったのか」ということを思い出してください。ＡＥ・ＡＣを
計算したのは何故でしょうか？これも方べきの定理っぽいですよね。
図をよく見て考えてください。それに気付けば∠ＡＥＧがどの角と
等しいか分かると思います。
正答およびその解説
このようにメラネウスの定理はどこに適用するか分かればアッサリと
答えが出せるので、三角形と延長線上の１点を適用するイメージを
頭に入れておいてください。
ヒント部でも述べたように、△ＣＤＧと△ＢＦＧ両方を含む△ＧＢＣに着目してみると上手くいきそうですね。
△ＣＤＧが△ＧＢＣに対してどれだけの比率か
△ＢＦＧが△ＧＢＣに対してどれだけの比率か
で△ＧＢＣ＝で繋げば求める比率が分かる
という順番で進めていきましょう。
ＡＥ・ＡＣ＝７２ですが、上図を見ると実はＡＧ・ＡＢも（６ｘ１２）＝７２
になっています。つまり方べきの定理の逆で、四角形ＢＣＥＧも同一円周上と
いうことが分かります。
基礎から見直したい項目がある時はスタディサプリがオススメです。
